Numerical simulation of pipelines' stress-strain state in the area of longitudal landslide
S.P. Sushchev, V.I. Larionov, M.A. Kozlov, SEC ESR Bauman Moscow State Technical University; P.V. Klimov, «Intergas Central Asia»
A mathematical model of underground pipeline interaction with soil in the area with longitudal landslide was developed. Differential equation of pipelines’ state was derived; corresponding algorithm and software based on methods of the finite elements, iterations and successive approximations were composed. Given example shows that area of disturbance of the stress field extends for several hundred meters to each side from landslides’ borders.
Keywords: pipeline, landslide, deformation, stress, simulation, soil, shift, safety, durability, account
При оценке безопасности участков магистральных нефтепроводов, которые эксплуатируются в сложных инженерно-геологических условиях, важно знать динамику изменения напряженно-деформированного состояния, которое наряду с механическими свойствами металла труб и уровнем дефектности является одним из определяющих факторов опасности. Как правило, на таких участках вследствие непрекращающихся грунтовых явлений возникают дополнительные нагрузки в виде изгибающих моментов, растягивающих и сжимающих сил, которые могут вызвать перенапряжение отдельных участков трубопровода. Если на таких участках трубопровода имеются различные концентраторы напряжений (неудачно выполненные конструктивные элементы, сварные швы с отклонениями от норм, дефекты различного происхождения), то перенапряжение в этих локальных зонах значительно усиливается и представляет реальную угрозу разрушению трубопровода. Чтобы противостоять этой угрозе, необходимо создать систему мониторинга, включающую следующие элементы:
1) контроль грунтовых изменений по трассе прохождения трубопровода, включая такие сложные явления как карсты, пучения, сдвиги, оползни, курумы, мерзлоту, ореолы оттаивания, тектонику, обводнения и другие;
2) оценку напряженно-деформированного состояния трубопровода в условиях различных грунтовых изменений;
3) контроль уровня дефектности трубопровода (дефектоскопия);
4) оценку уровня безопасности и допустимых рабочих давлений с учётом происходящих грунтовых изменений, дефектности трубопровода, режима эксплуатации (давление, температура, цикличность, защита от видов коррозии).
В этом ряду самым важным для практики является последняя задача. Но она может быть решена только после решения предыдущих двух задач, в том числе правильной оценки напряженного состояния трубопровода, которая, в свою очередь, не может быть выполнена без решения первой задачи – постоянного наблюдения и количественной оценки происходящих грунтовых явлений в процессе длительной эксплуатации (мониторинга).
Важна и обратная цепочка задач.
Очевидно, что не всякие методы и приборы позволяют получать в достаточном объёме исходные данные, необходимые для выполнения точных расчётов напряжений. Так же очевидно, что не всякие компоненты напряжений позволяют правильно оценивать опасность трубопровода с учётом имеющихся факторов сложности. Критерии разрушения, используемые в последней задаче, диктуют, какие компоненты напряжений и в каких точках следует определять, чтобы правильно оценить опасность ситуации. Это, в свою очередь, диктует тот минимальный набор приборов и методик измерений, которые необходимо предусмотреть в первой задаче.
Таким образом, сформулированные выше задачи являются связанными друг с другом общей целью – мониторингом состояния трубопровода в сложных инженерно-геологических условиях. В то же время каждая из сформулированных четырёх составных частей мониторинга является самостоятельной задачей, требующей отдельного рассмотрения, применения специальных методик, приборного и программного обеспечения.
В данной статье уделим основное внимание второй из поставленных задач – оценке напряжений в трубопроводе с учётом происходящих грунтовых изменений. При этом используем метод численного моделирования при следующих допущениях:
1. Допустимое напряженно-деформированное состояние для трубопроводов находится в пределах упругого состояния металла труб и сварных соединений. Поэтому максимальное напряжение в стенке трубопровода при суммарном воздействии всех возможных сил и факторов (продукта, грунта, температуры) должно быть меньше предела текучести металла трубы. Это позволяет существенно упростить задачу, в том числе за счёт применения принципа суперпозиции упругих напряжений [1].
2. Принцип суперпозиции позволяет разложить общее напряженное состояние трубопровода на следующие составляющие:
- напряжения, зависящие от внутреннего рабочего давления;
- напряжения, зависящие от температуры трубопровода;
- напряжения, определяемые внешними силами (реакции грунта, воды, опор, осадков, ветра).
Первые две составляющие напряжений определяются аналитически. Третья составляющая требует применения численных методов из-за ряда особенностей. Одна из таких особенностей состоит в том, что трудно правильно и точно описать закономерности взаимодействия трубы с грунтом, которые к тому же меняются в процессе эксплуатации трубопровода в сложных инженерно-геологических и климатических условиях. Другая сложность в том, что во многих случаях заранее неизвестны граничные условия для рассматриваемого участка трубопровода; они сами определяются только в ходе решения задачи. Предлагаемый математический аппарат позволяет справиться с указанными трудностями.
Для количественного описания состояния трубопровода введем систему координат (рис.1) и обозначения: – наружный диаметр трубы; – толщина стенки трубы; – модуль упругости металла трубы; – коэффициент поперечной деформации (Пуассона). Остальные обозначения будем вводить по мере необходимости.
Рисунок 1 – Координаты (x, y, z), смещения (u, v, w), силы (qx, qy, qz).
Поперечные смещения трубопровода, вызванные грунтовыми изменениями, вызывают продольно-поперечный изгиб в соответствии с уравнениями [2]
где u,v – поперечные смещения в горизонтальном и вертикальном направлениях;
,N(z)– продольное усилие (растяжению соответствует >0);
– составляющие поперечной нагрузки на трубу;
J – момент поперечного сечения трубы.
Для получения аналогичного выражения, связывающего напряжения с продольным сдвигом грунта, построим соответствующую математическую модель (рис.2). Для этого выделим элемент трубы длиной и запишем для него условие равновесия [3].
Рисунок 2 – Расчетная схема состояния трубопровода на участке продольного сдвига грунта
Сила, с которой действует грунт на поверхность элемента трубы <!--[if gte mso 9]> 800x600 <!--[if gte mso 9]> Normal 0 false false false RU X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4 <!--[if gte mso 9]> <!--[if gte mso 10]> /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:"Обычная таблица"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-priority:99; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman","serif";} dQ=pD*dz*qz
Здесь – распределённая по площади поверхности трубы продольная сила со стороны окружающего грунта (реакция грунта в продольном направлении, отнесённая к площади поверхности трубы 1 м2) .
Сила, с которой действуют на элемент остальные части трубопровода (слева и справа)
dN=pD*d
Условие равновесия элемента длиной dz
<!--[if gte mso 9]> 800x600 <!--[if gte mso 9]> Normal 0 false false false RU X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4 <!--[if gte mso 9]> <!--[if gte mso 10]> /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:"Обычная таблица"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-priority:99; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman","serif";} dQ+dN=0
Выполним преобразования этого уравнения
Получили дифференциальное уравнение, описывающее состояние трубопровода при продольном сдвиге.
Таким образом, система уравнений (1, 2, 3) позволяют описать состояние трубопровода при произвольных смещениях грунта.
Уравнения продольно-поперечного сдвига (1, 2) изучались во многих работах [2, 4 и др.]. Здесь же подробнее рассмотрим задачи, связанные с уравнением (3).
Решение уравнения (3) зависит от вида функции и граничных условий. Функция описывает распределение сил трения между грунтом и трубопроводом. Если рассматривать случай, показанный на рисунке 2, силы возникают из-за продольного сдвига грунта на некоторое расстояние . Характер этих сил показан на рисунке 3.
Рис. 3. Действие грунта на трубопровод при продольном сдвиге
<!--[if !mso]> v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);} <!--[if gte mso 9]> 800x600 <!--[if gte mso 9]> Normal 0 false false false RU X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4 <!--[if gte mso 9]> <!--[if gte mso 10]> /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:"Обычная таблица"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-priority:99; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman","serif";}
Для количественного описания сил необходимо задать характеристики грунта на участке сдвига: координаты точек А и В, величину .
Также необходимо задать параметр , характеризующий сдвиг трубы относительно грунта, при котором сила трения перестает расти (соответствует наибольшему сцеплению).
Для решения дифференциального уравнения (3) кроме задания сил требуются начальные и граничные условия. Их можно задать следующим образом:
начальное условие (до сдвига трубопровод находился в исходном положении, которое берём за ноль);
граничные условия (вдали от участка сдвига АВ трубопровод находится в исходном положении).
Поскольку сила задается в виде отдельных кусочков, решение уравнения будет кусочно-непрерывным.
Исследуем характер решения в пределах каждого “кусочка”, задавая разные зависимости .
1) . Уравнение (3) получает вид 
.
При этом решение имеет вид . Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из граничных условий.
4) . Уравнение 
.
Как видим, во всех областях решение имеет степенной характер. “Сшивая” эти решения, можно получить общее решение для участка трубопровода в аналитической форме.
Однако существует определенная трудность, которая состоит в том, что силы задаются в неявной форме. Для решения задачи требуется задать функции , а на рисунке 3 имеем функции . Для перехода от к выражению необходимо знать зависимость , которая остаётся неизвестной, пока не решим задачу. При этом известно, что если является линейной функцией (или кусочно-линейной, как показано на рис.3), а функция - степенная (или полином, как показано выше), то функция будет обязательно степенной (или полиномом). Следовательно, все участвующие здесь функции относятся к классу степенных функций (постоянную, линейную функции и полиномы можно рассматривать как частные случаи или суперпозиции степенных функций).
Таким образом, решение можно строить аналитически, хотя это достаточно громоздко. При любом изменении исходных данных решение изменяется и это каждый раз надо прослеживать вручную. Можно легко допустить ошибки. Поэтому лучше строить решения численно: методом конечных элементов или методом конечных разностей. Одно из аналитических решений можно использовать в качестве тестовой задачи при отладке расчётной программы.
Метод конечных элементов основан на минимизации функции Лагранжа для участка трубопровода, находящегося под действием заданных сил [5]. Минимуму функции Лагранжа в пределах всего трубопровода соответствует минимум в каждом отдельном малом участке, входящем в состав всего трубопровода в целом. Минимизация в малых масштабах намного легче, поэтому её и используем в данной задаче.
Участок трубопровода разделим (мысленно) на равные конечные участки длиной по (рис.4). Поскольку все элементы одинаковы, и ни один из них не выделяется чем-то особенным, рассмотрим в общем виде “взаимоотношение” двух смежных элементов. Затем полученную формулу применим ко всем узлам конечно-элементной сетки.
Рисунок 4 – Конечно-элементная сетка, обозначение узлов и элементов
Итак, введём необходимые обозначения и составим условие минимума функции Лагранжа в пределах двух смежных элементов с общим узлом .
– длина конечного элемента;
– номера узлов конечно-элементной сетки;
– номера конечных элементов;
– продольные силы, действующие на конечные элементы.
Функция Лагранжа двухэлементной системы имеет вид
,
где – энергия деформаций этой системы;
– работа сил, приложенных к этой системе.
Условие минимума функции Лагранжа записывают так:
Здесь - знак вариации при изменении положения узла (в отличии от толщины стенки ).
Отсюда следует
Энергия деформации двухэлементной системы:
Используем выражения деформаций [1]
и продолжим преобразования выражения для и .
;
.
Здесь варьируем только положением центрального узла при “закреплённых” положениях всех других узлов, поэтому переменным выступает только
.
Вариация работы внешних сил при изменении положения узла
.
Преобразуем выражение .
Таким образом, формула (4) выражает условие локального равновесия узла (при заданных положениях других узлов).
Применяя это выражение последовательно ко всем узлам конечно-элементной сетки, получим первое приближение к искомому решению.
Повторяя многократно эту процедуру, получим 2-е, 3-е, … n-ое приближения. Причём, каждое последующее приближение будет ближе к точному решению. Когда увидим, что последующее приближение уже не отличается от предыдущего, можем прекратить счёт и отметить, что получено точное решение.
Такой подход к решению имеет два преимущества.
Во-первых, он очень прост для программирования. А большое число повторений однотипных операций при программном счёте вообще не представляет проблемы, поскольку быстродействие современных компьютеров более чем достаточно для решения таких задач.
Во-вторых, по ходу приближений можно корректировать действующие силы, которые, как видели выше, сами зависят от смещений трубы .
В качестве примера рассмотрим задачу о продольном сдвиге грунта, в котором проложен трубопровод 5398 мм (рис.5). Рабочее давление 5,0 МПа. Температурный перепад эксплуатация-укладка составляет +20 градусов. На участке АВ с координатами 300-400 м произошёл сдвиг грунта. В некоторых контрольных точках в этом районе произведены замеры, результаты которых послужили исходными данными при расчёте (таблица 1). В интервалах между контрольными точками использована линейная интерполяция.
Рисунок 5 – Пример продольного сдвига грунта (оползень)
Таблица 1 Исходные данные для решения задачи о продольном сдвиге
№ п/п
Координаты точек z, м
Смещение грунта w, м
Коэффициент сцепления, Н/м3
Предельная
деформация, м
1
5
0
3105
0,1
2
299
0
3105
0,1
3
300
10
1103
0,1
4
330
5
5104
0,1
5
370
1
1104
0,1
6
400
0,5
1104
0,1
7
401
0,5
3105
0,1
8
595
0
3105
0,1
Результаты расчётов отображены на графиках рисунка 6. Они показывают, что в районе сдвига грунта осевое напряжение достигает значения 122 МПа, тогда как вдали от этой зоны они не превышают 97,6 МПа. Из графиков также видно, что возмущение поля напряжений от сдвига грунта распространяется вдоль трубопровода на большие расстояния, несколько сот метров от границ участка сдвига грунта.
Рисунок 6 – Пример результатов расчета напряженно-деформированного состояние трубы в районе продольного сдвига грунта
Выводы:
1. Разработана математическая модель воздействия грунта на подземный трубопровод в районе продольного сдвига (оползня). Получено дифференциальное уравнение состояния трубопровода для данного случая.
2. Разработаны соответствующие алгоритм и программа для решения полученного уравнения при произвольных исходных данных, характеризующих свойства грунта в районе оползня. Решение построено на базе методов конечных элементов, итераций и последовательных приближений. Это позволяет одновременно уточнять и действующие нагрузки со стороны грунта, и напряжённо-деформированное состояние трубопровода под действием этих сил.
3. Показано, что зона возмущения поля напряжений в трубопроводе распространяется далеко за пределы участка оползня.
Список литературы:
1. С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. Теория упругости. - М.: Наука. 1975. - 576 с.
2. А.Г. Гумеров, Р.С. Гумеров, К.М. Гумеров. Безопасность длительно эксплуатируемых магистральных нефтепроводов. - М.: Недра, 2001. -305 с.
3. В.В. Добронравов, И.Н. Никитин, А.Л. Дворников. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1974. 527 с.
4. А.В. Фролов, Л.Т. Шуланбаева, М.Ф. Сунагатов, А.К. Гумеров. Оценка напряжённого состояния подземных трубопроводов с учётом грунтовых изменений в процессе эксплуатации // НТЖ «Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов» / ИПТЭР. – 2010. - Вып. 1 (79). – С. 61-66.
5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.
Ключевые слова: трубопровод, оползень, деформирование, напряжения, моделирование, грунт, сдвиг, прочность, безопасность, расчёт
Меню сайта